Web 版はブラウザ経由なので OS のプロキシが通常そのまま効きます。一方 API 呼び出しはターミナルやバックグラウンドプロセスで行われることが多く、多くのツールは環境変数だけを読み、OS のプロキシ設定は読みません。また Web 版と API ではアクセスするドメインとポートが異なるため、ある回線で Web 版が安定しても、常時接続も同じように安定するとは限りません。別々に検証することをおすすめします。
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